M5160 Obyčejné Diferenciální Rovnice

$$ % Declare mathematics (so they can be overwritten for PDF) % Font styles % Sets % Sets from PDEs % Basic notation - vectors and random variables %vector or matrix %differentiated vector or matrix %if doesn’t work

%if doesn’t work

%random variable %random vector or matrix

%differentiated vector or matrix

%#TODO

%#TODO

% Basic notation - general % Special symbols % Shorthands % Basic functions %image %cardinality % Operators - Analysis % Linear algebra % Linear algebra - Matrices % Statistics %at time % Useful commands % Game Theory %T-stage game %strategy in a repeated game %successor function %player function

%action function

% Optimization

% PDEs % striked integral

% ODEs

$$

1 Diferenciální rovnice prvního řádu

Nechť \(M \subseteq \mathbb{R}^3\) je daná množina a \(F : M \to \mathbb{R}\) daná funkce. Rovnice \[ F(x,y,y') = 0, \tag{1}\] kde \(' = \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x}\,\) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Řešení rovnice (1) je každá funkce \(y = \varphi(x)\), která má derivaci na nějakém intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) a \[ [x, \varphi(x), \varphi'(x)] \in M \quad \& \quad F(x, \varphi(x), \varphi'(x)) = 0 \quad \forall x \in \mathcal{I}. \] Graf funkce \(y = \varphi(x)\), tj. množina \(\left\{[x,y] \in \mathbb{R}^2; x \in \mathcal{I}, y = \varphi(x)\right\}\) se nazývá integrální křivka rovnice (1). Lze-li navíc rovnici (1) upravit na tvar \(y' = f(x,y)\) pro \(f : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), potom se nazývá rozřešená vzhledem k derivaci (explicitní rovnice). Definujme dále některé pojmy:

• počáteční (Cauchyho) úloha – hledáme řešení \(y = \varphi(x)\) explicitní rovnice, kterého integrální křivka prochází pevně zvoleným bodem \([x_0, y_0]\in D\), tj. \[ y' = f(x,y), \quad y(x_0) = y_0, \tag{2}\] přičemž takové řešení nazveme partikulární;
• všeobecné řešení explicitní rovnice – funkce \(y = \varphi(x, C)\) závisí na jednom reálném parametru \(C\), pomocí které lze vhodnou volbou \(C\) získat řešení každé úlohy (2), tj. pro libovolné \([x_0, y_0] \in D\);
• úplné řešení – řešení úlohy (2), které není zúžením žádného jiného řešení. Pokud má úloha (2) má úplné řešení s vlastností, že každé jiné řešení je jeho zúžením, potom říkáme, že počáteční úloha (2) má právě jedno řešení;
• singulární řešení – řešení explicitní rovnice s vlastností, že v každém bodě jeho integrální křivky je porušená jednoznačnost řešení úlohy (2).

1.1 Rovnice se separovanými proměnnými

Diferenciální rovnice tvaru \[ y' = g(x)h(y), \tag{3}\] kde \(g,h\) jsou dané funkce, se nazývá rovnice se separovanými proměnnými.

Teorém 1 Nechť \(\mathcal{I}_g, \mathcal{I}_h\) jsou dané otevřené intervaly v \(\mathbb{R}\). Nechť \(g\) je spojitá na \(\mathcal{I}_g\) a \(h\) spojitá na \(\mathcal{I}_h\) taková, že \(h(y) \neq 0\) pro každé \(y \in \mathcal{I}_h\). Potom pro každý bod \([x_0, y_0] \in \mathcal{I}_g \times \mathcal{I}_h\) má každá počáteční úloha \[ y' = g(x)h(y), \quad y(x_0) = y_0 \tag{4}\] právě jedno řešení \(y = \varphi(x)\), které je určené implicitně rovnicí \[ \int_{y_0}^{\varphi(x)} \frac {\mathrm{d}t} {h(t)} = \int_{x_0}^x g(s) \mathrm{d}s. \] Toto řešení je definované na intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathcal{I}_g\) určeném podmínkou \[ x \in \mathcal{I}\iff \inf_{\lambda \in \mathcal{I}_h} \int_{y_0}^\lambda \frac {\mathrm{d}t} {h(t)} < \int_{x_0}^x g(s) \mathrm{d}s < \sup_{\lambda \in \mathcal{I}_h} \int_{y_0}^\lambda \frac {\mathrm{d}t} {h(t)}. \]

Teorém 2 Nechť platí předpoklady Teorém 1, přičemž navíc nechť interval \(\mathcal{I}_h\) je ohraničený, t.j. \(\mathcal{I}_h = (c,d)\). Pokud funkce \(h\) splňuje \(h(d) = 0\) a \[ \lim_{\lambda \to d^-} \left| \int^\lambda \frac {\mathrm{d}t} {h(t)} \right| = \infty, \] potom počáteční úloha (4) má pro každé \(x_0 \in \mathcal{I}_g\) a každé \(y_0 \in (c,d]\) právě jedno řešení. Podobně, pokud funkce \(h\) splňuje \(h(c) = 0\) a \[ \lim_{\lambda \to c^+} \left| \int^\lambda \frac {\mathrm{d}t} {h(t)} \right| = \infty, \] potom úloha (4) má pro každé \([x_0, y_0] \in \mathcal{I}_g \times [c,d)\) právě jedno řešení.

Teorém 3 Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je konvexní oblast a \(f \in C^{2}(D,\mathbb{R})\) je funkce taková, že platí \(f(x,y) \neq 0\) pro každé \([x,y] \in D\). Potom \[ f(x,y) = g(x)h(y) \quad \forall [x,y] \in D \] právě tehdy, když \[ \det \begin{pmatrix} f(x,y) & f_y(x,y) \\ f_x(x,t) & f_{xy}(x,y) \end{pmatrix} = 0 \quad \forall [x,y] \in D. \]

Definice 1 (Homogenní funkce) Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je množina uzavřená na kladné skalární násobky, t.j. platí \[ \alpha D := \left\{[\alpha x, \alpha y]; [x,y] \in D\right\} \subseteq D \] pro libovolné \(\alpha > 0\). Funkce \(f : D \to \mathbb{R}\) se nazývá (pozitivně) homogenní stupně \(k \in \mathbb{N}_0\), pokud pro každý bod \([x,y] \in D\) a každé \(\alpha > 0\) platí \[ f(\alpha x, \alpha y) = \alpha^k f(x,y). \] Speciálně, funkce \(f\) s vlastností \[ f(\alpha x, \alpha y) = f(x,y) \quad \forall [x,y] \in D, \alpha > 0 \] se nazývá homogenní (stupně 0).

Každá homogenní funkce \(f : D \to \mathbb{R}\) stupně 0 lze vyjádřit jako podíl dvou homogenních funkcí stejného stupně. Navíc pokud množina \(D\) obsahuje pouze body \([x,y] \in D\) s \(x \neq 0\), funkci \(f\) je možné reprezentovat ve tvaru \(f(x,y) = \psi (\frac y x)\) pro jistou funkci \(\psi\) jedné proměnné. Explicitní diferenciální rovnici prvního řádu poté nazveme homogenní, je-li příslušné \(f\) homogenní funkce stupně 0.

1.2 Lineární diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice tvaru \[ y' = a(x)y + b(x) \tag{5}\] se nazývá lineární rovnice. Pokud je \(b(x) \equiv 0\), hovoříme o homogenní lineární rovnici.

Teorém 4 Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je otevřený interval a \(a,b : \mathcal{I}\to \mathbb{R}\) jsou spojité funkce. Potom pro každý bod \([x_0, y_0] \in \mathcal{I}\times \mathbb{R}\) má počáteční úloha \[ y' = a(x)y + b(x), \quad y(x_0) = y_0 \tag{6}\] právě jedno úplné řešení, které existuje na celém \(\mathcal{I}\), a má tvar \[ y(x) = e^{\int_{x_0}^x a(s) \mathrm{d}s} \left( y_0 + \int_{x_0}^x b(s) e^{-\int_{x_0}^s a(t) \mathrm{d}t} \mathrm{d}s \right), \quad x \in \mathcal{I}. \]

Diferenciální rovnice tvaru \[ y' = a(x)y + b(x)y^r, \] kde \(a,b\) jsou dané funkce a \(r \in \mathbb{R}\setminus \left\{0,1\right\}\), se označuje jako Bernoulliho rovnice. Řešíme ji pak pomocí substituce \(u := y^{1-r}\). Podobně definujeme Riccatiho rovnici jako \[ y' = a(x)y + b(x)y^2 + c(x), \tag{7}\] kde \(a,b,c\) jsou dané funkce. V obecnosti avšak množina řešení Riccatiho rovnice nelze vyjádřit v explicitním, ani implicitním tvaru.

Teorém 5 Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je otevřený interval a \(a,b,c : \mathcal{I}\to \mathbb{R}\) jsou spojité funkce. Dále nechť \(\varphi_0\) je nějaké řešení rovnice (7) na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom funkce \(y = \varphi(x)\) je řešení rovnice (7) definované na vhodném subintervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) a různé od \(\varphi_0\) právě tehdy, když má tvar \[ \varphi(x) = \varphi_0(x) + \frac 1 {\psi(x)}, x \in \mathcal{J}, \] kde funkce \(\psi\) je řešení lineární diferenciální rovnice \[ z'= - \left( 2b(x) \varphi_0(x) + a(x) \right) z - b(x) \] na intervalu \(\mathcal{J}\).

Teorém 6 Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je otevřený interval a \(a,b,c : \mathcal{I}\to \mathbb{R}\) jsou spojité funkce. Dále nechť \(\varphi_0\) je nějaké řešení rovnice (7) na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom funkce \(y = \varphi(x)\) je řešení rovnice (7) na vhodném subintervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) právě tehdy, když \[ \varphi(x) = \varphi_0(x) + \psi(x) \] kde funkce \(\psi(x)\) je řešení Bernoulliho rovnice \[ z' = \left( 2b(x) \varphi_0(x) + a(x) \right)z + b(x)z^2 \] na intervalu \(\mathcal{J}\).

1.3 Exaktní diferenciální rovnice

Uvědomme si, že v explicitní diferenciální rovnici můžeme uvažovat \(f(x,y) = - \frac {p(x,y)} {q(x,y)}\) pro vhodné funkce \(p,q\), kde \(q(x,y) \neq 0\), tj. budeme pracovat s rovnicí \[ y' + \frac {p(x,y)} {q(x,y)} = 0, \] resp. tvaru \[ p(x,y)\mathrm{d}x + q(x,y) \mathrm{d}y = 0. \tag{8}\]

Definice 2 (Exaktní rovnice) Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je daná množina a \(p,q: D \to \mathbb{R}\) jsou dané funkce s \(q(x,y) \neq 0\) na \(D\). Pokud je výraz \(p(x,y)\mathrm{d}x + q(x,y) \mathrm{d}y\) prvním (úplným) diferenciálním nějaké funkce \(F :D \to X\), t.j. platí \[ \mathrm{d}F(x,y) = p(x,y)\mathrm{d}x + q(x,y) \mathrm{d}y \quad \forall [x,y] \in D, \tag{9}\] potom se rovnice (8) nazývá exaktní na množině \(D\).

Poznamenejme, že funkce \(F\) s vlastností (9) se nazývá kmenová funkce pro dvojici funkcí \(p,q\) na množině \(D\) (nebo též i potenciálová funkce pro vektorové pole \((p,q)\) na \(D\)). Je známo, že pro \(D\) konvexní oblast v \(\mathbb{R}^2\) je kmenová funkce \(F\) určena jednoznačně dvojicí \(p,q\), až na aditivní konstantu.

Teorém 7 Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je daná konvexní oblast a \(p,q : D \to \mathbb{R}\) jsou dané funkce s \(q(x,y) \neq 0\) na \(D\). Předpokládejme, že rovnice (8) je exaktní na množině \(D\). Potom funkce \(y = \varphi(x)\) je řešením rovnice (8) na intervalu \(\mathcal{I}\) právě tehdy, když má funkce \(\varphi\) derivaci na \(\mathcal{I}\) a platí \(q(x, \varphi(x)) \neq 0\) a výraz \(F(x, \varphi(x))\) je konstantní na \(\mathcal{I}\).

Teorém 8 Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je daná konvexní oblast v \(\mathbb{R}^2\) a \(p,q : D \to \mathbb{R}\) jsou dané funkce. Předpokládejme, že pro zvolený bod \([x_0, y_0] \in D\) jsou funkce \(p,q,p_y, q_x\) spojité na nějakém okolí \(\mathcal{O}\left( [x_0, y_0] \right) \subseteq D\) a nechť platí \[ p_y(x,y) = q_x(x,y), \quad q(x,y) \neq 0, \quad [x,y] \in \mathcal{O}\left( [x_0, y_0] \right). \] Potom rovnice (8) je exaktní na \(\mathcal{O}\left( [x_0, y_0] \right)\) a má jediné řešení \(y = \varphi(x)\), které je definované na jistém okolí bodu \(x_0\) a splňuje \(\varphi(x_0) = y_0\). Toto řešení je implicitně dané rovnicí \(F(x,y) = 0\), kde funkce \[ F(x,y) := \int_{x_0}^x p(t,y) \mathrm{d}t + \int_{y_0}^y q(x_0, t) \mathrm{d}t, \quad [x,y] \in \mathcal{O}\left( [x_0, y_0] \right). \]

V případě, že rovnice (8) není exaktní, pokoušíme se najít integrační faktor, tj. vhodnou funkci \(\rho(x,y) \neq 0\) s vlastností, že ekvivalentní rovnice \[ \rho(x,y)p(x,y) \mathrm{d}x + \rho(x,y) q(x,y) \mathrm{d}y = 0 \] již na dané množině exaktní je.

Teorém 9 (Kamkeho) Nechť \(D \subseteq \mathbb{R}^2\) je daná konvexní oblast a \(p,q : D \to \mathbb{R}\) jsou dané funkce. Předpokládejme, že pro zvolený bod \([x_0, y_0]\in D\) mají funkce \(p,q\) spojité první parciální derivace na nějakém jeho okolí a nechť \(q(x_0, y_0) \neq 0\). Potom pro rovnici (8) existuje integrační faktor \(\rho(x,y)\), který je definovaný na jistém okolí bodu \([x_0, y_0]\).

2 Systémy lineárních diferenciálních rovnic

Definujeme systém \(n\) lineárních diferenciálních rovnic jako \[ \boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}(t) \tag{10}\] pro \(t \in \mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\). Je-li \(\boldsymbol{b}(t) \equiv 0\), pak jej nazýváme homogenní. Řešení je libovolná diferencovatelná funkce \(\boldsymbol{\varphi}\) definovaná na \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) taková, že \[ \boldsymbol{\varphi}'(t) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{\varphi}(t) + \boldsymbol{b}(t), \quad t \in \mathcal{J}. \] Počáteční úloha pak přidává \[ \boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{b}(t), \quad \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{\eta} \tag{11}\] pro \(t_0 \in \mathcal{I}^o\) a \(\boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\) daný vektor.

Lemma 1 (Gronwallovo) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je interval, \(t_0 \in \mathcal{I}\) je daný bod a \(u\) a \(v\) jsou (skalární) nezáporné a spojité funkce na \(\mathcal{I}\). Pokud existuje konstanta \(C \in \mathbb{R}\) taková, že \[ u(t) \leq C + \left| \int_{t_0}^t v(s) u(s) \mathrm{d}s \right| \quad \forall t \in \mathcal{I}, \] potom také platí nerovnost \[ u(t) \leq C e^{\left| \int_{t_0}^t v(s) \mathrm{d}s \right|} \quad \forall t \in \mathcal{I}. \]

Tip

Pokud platí předpoklady Lemma 1 a \(C = 0\), potom \(u(t) \equiv 0\) na \(\mathcal{I}\).

2.1 Existence a jednoznačnost řešení

Lemma 2 Nechť funkce \(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}\) jsou definované a spojité na \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\), pak \(\boldsymbol{\varphi}\) je řešení (11) na nějakém intervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) a \(t_0 \in \mathcal{J}^o\) právě tehdy, když platí \[ \boldsymbol{\varphi}(t) = \boldsymbol{\eta }+ \int_{t_0}^t \left( \boldsymbol{A}(s) \boldsymbol{\varphi}(s) + \boldsymbol{b}(s) \right) \mathrm{d}s \quad \forall t \in \mathcal{J}, t_0 \in \mathcal{J}^o. \]

Teorém 10 (Globální existence a jednoznačnost řešení) Nechť daná maticová funkce \(\boldsymbol{A}\) a vektorová funkce \(\boldsymbol{b}\) jsou definované a spojité na \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\). Potom (11) má pro každé \(t_0 \in \mathcal{I}\) a každé \(\boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\) právě jedno řešení \(\boldsymbol{\varphi}\), které existuje na celém \(\mathcal{I}\). Toto řešení je možné vyjádřit jako limitní funkci tzv. Picardovy posloupnosti postupných aproximací \(\left\{\boldsymbol{\varphi}_k\right\}_{k = 0}^\infty\), kde pro každé \(k \in \mathbb{N}_0\) platí, že \(\boldsymbol{\varphi}_k\) je spojitá na \(\mathcal{I}\) a \[ \boldsymbol{\varphi}_{k+1}(t) = \boldsymbol{\eta }+ \int_{t_0}^t \left( \boldsymbol{A}(s) \boldsymbol{\varphi}_k(s) + \boldsymbol{b}(s) \right) \mathrm{d}s, \quad t \in \mathcal{I} \] a řešení \(\boldsymbol{\varphi}(t) = \lim_{k \to \infty} \boldsymbol{\varphi}_k(t)\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\).

2.2 Řešení homogenního systému

Uvažujme nyní homogenní systém \[ \boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}(t), \tag{12}\] kde \(\boldsymbol{A}\) je \(n \times n\) maticová funkce spojitá na \(\mathcal{I}\).

Teorém 11 (Struktura množiny řešení homogenního systému) Množina všech řešení rovnice (12) na intervalu \(\mathcal{I}\) tvoří lineární (vektorový) prostor nad tělesem reálných čísel.

Definice 3 (Lineární nezávislost vektorových funkcí) Nechť \(k,n \in \mathbb{N}\) jsou dané a nechť \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\), označme \(\boldsymbol{X}(t) = (\boldsymbol{x}_1(t), \dots, \boldsymbol{x}_k(t))\), jsou \(n\)-vektorové funkce definované na nedegenerovaném intervalu \(\mathcal{I}\). Řekneme, že funkce \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\) jsou lineárně závislé na \(\mathcal{I}\), pokud existuje nenulová \(k\)-tice reálných čísel \(\boldsymbol{c} = (c_1, \dots, c_k)\) taková, že \[ \left\langle \boldsymbol{c}, \boldsymbol{X}(t) \right\rangle = c_1 \boldsymbol{x}_1(t) + \dots + c_k \boldsymbol{x}_k(t) = 0 \quad \forall t \in \mathcal{I}. \] V opačném případě se funkce \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\) označují jako lineárně nezávislé na \(\mathcal{I}\).

Teorém 12 (Lineární nezávislost řešení homogenního systému) Nechť \(k \in \mathbb{N}\) a nechť \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\) jsou úplné řešení systému (12) na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom funkce \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_k\) jsou lineárně závislé právě tehdy, když pro nějaký bod \(t_0 \in \mathcal{I}\) jsou vektory \(\boldsymbol{x}_1(t_0), \dots, \boldsymbol{x}_k(t_0)\) lineárně závislé.

Dimenze prostoru řešení homogenního systému

Množina řešení rovnice (12) na intervalu \(\mathcal{I}\) tvoří lineární prostor dimenze \(n\).

Definice 4 (Fundamentální systém řešení homogenního systému) Libovolná báze prostoru všech řešení rovnice (12) na intervalu \(\mathcal{I}\) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice (12) na \(\mathcal{I}\).

Dále budeme k rovnici (12) uvažovat ještě maticovou rovnici \[ \boldsymbol{X}'(t) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{X}(t), \quad t \in \mathcal{I}, \tag{13}\] pro jejíž řešení \(\boldsymbol{X}\) jistě platí, že i \(\boldsymbol{X}\cdot \boldsymbol{C}\) je také řešení, je-li \(\boldsymbol{C}\) konstantní vektor. Dále se maticové řešení \(\boldsymbol{X}\) nazývá fundamentální matice, pokud sloupce vytvářejí fundamentální systém řešení rovnice (12). Jistě totiž má \(\boldsymbol{X}(t)\) tvar \[ \boldsymbol{X}(t) = \begin{pmatrix} | & | & & | \\ \boldsymbol{x}_1(t) & \boldsymbol{x}_2(t) & \cdots & \boldsymbol{x}_n(t) \\ | & | & & | \end{pmatrix}, \] kde \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\) jsou řešení (12). Pokud tedy sloupce \(\boldsymbol{x}_1, \dots, \boldsymbol{x}_n\) matice \(\boldsymbol{X}\) tvoří bázi řešení rovnice (12), pak je \(\boldsymbol{X}\) fundamentální matice systému (12). Jinak řečeno, \(\boldsymbol{X}(t)\) tvoří fundamentální řešení právě tehdy, když \(\det \boldsymbol{X}(t) \neq 0\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\), tj. \(\boldsymbol{X}(t)\) je regulární na celém \(\mathcal{I}\).

Teorém 13 (Liouvilleův-Jacobiho-Abelův-Ostrogradského vzorec) Nechť \(\boldsymbol{X}\) je maticové řešení (13) na intervalu \(\mathcal{I}\) a nechť \(t_0 \in \mathcal{I}\) je daný bod. Potom pro každé \(t \in \mathcal{I}\) platí vzorec \[ \det \boldsymbol{X}(t) = \det \boldsymbol{X}(t_0) e^{\int_{t_0}^t \mathrm{tr}\boldsymbol{A}(s) \mathrm{d}s}, \] kde \(\mathrm{tr}\boldsymbol{A}:= \sum_{i = 1}^n A_{ii}\) je stopa matice \(\boldsymbol{A}\).

Teorém 14 Nechť pro \(\alpha \in \mathbb{R}\) je \(\boldsymbol{A}\) spojitá maticová funkce na intervalu \(\mathcal{I}= [\alpha, \infty)\) taková, že \(\int_\alpha^\infty \left\lVert \boldsymbol{A}(s) \right\rVert \mathrm{d}s < \infty\) pro nějakou maticovou normu \(\left\lVert \cdot \right\rVert\). Nechť \(\left\{\boldsymbol{X}_k\right\}_{k = 0}^\infty\) je posloupnost maticových funkcí rekurentním předpisem \[ \boldsymbol{X}_0 (t) \equiv \boldsymbol{I}_n, \quad \boldsymbol{X}_{k+1}(t) = \int_t^\infty \boldsymbol{A}(s) \boldsymbol{X}_k(s) \mathrm{d}s \] pro \(t \in \mathcal{I}, k \in \mathbb{N}_0\). Potom pro každý konstantní vektor \(\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^n\) je nekonečná řada \[ \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k \boldsymbol{X}_k(t) \cdot \boldsymbol{c} \] absolutně a rovnoměrně konvergentní na intervalu \(\mathcal{I}\) a funkce \(\boldsymbol{x}\) definovaná \[ \boldsymbol{x}(t) := \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k \boldsymbol{X}_k(t) \cdot \boldsymbol{c} \] pro \(t \in \mathcal{I}\) je úplným řešením systému (12) na \(\mathcal{I}\). Navíc platí \(\lim_{t \to \infty} \boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{c}\).

2.3 Nehomogenní systémy rovnic

Teorém 15 (Struktura množiny řešení nehomogenního systému) Nechť funkce \(\boldsymbol{A}\) a \(\boldsymbol{b}\) jsou spojité na intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\). Nechť \(\boldsymbol{X}\) je fundamentální matice systému (12) a nechť \(\boldsymbol{x}_0\) je nějaké řešení (10) na \(\mathcal{I}\). Potom vektorová funkce \(\boldsymbol{x}\) je úplným řešením nehomogenního systému (10) na \(\mathcal{I}\) právě tehdy, když pro nějaký konstantní vektor \(\boldsymbol{c} \in \mathbb{R}^n\) platí \[ \boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{c} + \boldsymbol{x}_0(t) \quad \forall t \in \mathcal{I}. \]

Z Teorém 15 zjevně plyne, že všeobecné řešení systému (10) můžeme psát jakou součet všeobecného řešení systému (12) a partikulárního řešení (10).

Teorém 16 (Metoda variace konstant) Počáteční úloha (11) má jediné řešení tvaru \[ \boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{X}^{-1}(t_0)\boldsymbol{\eta }+ \boldsymbol{X}(t) \int_{t_0}^t \boldsymbol{X}^{-1}(s)\boldsymbol{b}(s) \mathrm{d}s, \] kde \(\boldsymbol{X}\) je libovolná fundamentální matice systému (12).

2.4 Systémy s konstantními koeficienty

Dále se budeme zabývat zjednodušeným případem, kdy je v rovnici (12) matice \(\boldsymbol{A}\) konstantní, tj. \[ \boldsymbol{x}'(t) = \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{x}(t). \tag{14}\] Zřejmě je každé řešení úplné a definovaném na celém \(\mathbb{R}\). Dále ještě pro čtvercovou komplexní matici \(\boldsymbol{M}\) definujme exponenciálu matice jako \[ e^{\boldsymbol{M}} := \sum_{k = 0}^\infty \frac 1 {k!} \boldsymbol{M}^k, \] přičemž tato nekonečná řada konverguje absolutně pro každou matici \(\boldsymbol{M} \in \mathbb{C}^{n\times n}\), protože řada \(\sum_{k = 0}^\infty \frac 1 {k!} \left\lVert \boldsymbol{M} \right\rVert^k\) je konvergentní vzhledem k libovolné maticové normě.

Teorém 17 (Fundamentální matice homogenního systému) Nechť \(\boldsymbol{A}\) je čtvercová konstantní reálná matice řádu \(n\). Potom exponenciála \(e^{\boldsymbol{A}t}\) je fundamentální matice systému (14) na celém \(\mathbb{R}\).

Dále byl představen Jordanův kanonický tvar.

Teorém 18 (Fundamentální matice systému) Každá fundamentální matice \(\boldsymbol{X}\) systému (14) má tvar \[ x_{ij}(t) = \sum_{k = 1}^l \left( p_k(t) \cos \left( t \cdot \mathrm{Im}(\lambda_k) \right) + r_k(t) \sin \left( t \cdot \mathrm{Im}(\lambda_k) \right) \right) e^{t \cdot \mathrm{Re}(\lambda_k)}, \quad t \in \mathbb{R}, \] kde indexy \(i,j = 1, \dots, n\), hodnoty \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) jsou navzájem různá vlastní čísla matice \(\boldsymbol{A}\) a funkce \(p_k\) a \(r_k\) jsou reálné polynomy stupně menšího než je algebraická násobnost vlastního čísla \(\lambda_k\), opět pro \(k = 1, \dots, n\).

Důsledek 1 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je fundamentální matice systému (14). Potom

1. matice \(\boldsymbol{X}\) je ohraničená na okolí \(\infty\) právě tehdy, když každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) má nekladnou reálnou část a vlastní čísla s nulovou reálnou části jsou jednoduchá;
2. platí \(\lim_{t \to \infty} \boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{0}_n\) právě tehdy, když každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) má zápornou reálnou část.

2.4.1 Putzerův algoritmus

Teorém 19 (Cayleho-Hamiltonova) Každá matice \(\boldsymbol{C} \in \mathbb{C}^{n \times n}\) je kořenem svého charakteristického polynomu, tj. pokud \(p(\lambda)\) je charakteristický polynom matice \(\boldsymbol{M}\), potom platí \(p(\boldsymbol{M}) = \boldsymbol{O}_n\).

Teorém 20 (Putzerův algoritmus) Nechť funkce \[ p(\lambda) = \lambda^n + d_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + d_1 \lambda + d_0 \] je normovaný charakteristický polynom konstantní matice \(\boldsymbol{A}\) a nechť (skalární) funkce \(x\) je řešením úlohy \[ \begin{gathered} x^{(n)} + d_{n-1} x^{(n-1)} + \dots + d_1 x' + d_0 x = 0, \\ x(0) = x'(0) = \dots = x^{(n-2)}(0) = 0, \quad x^{(n-1)}(0) = 1. \end{gathered} \] Definujme vektorovou funkci \(\boldsymbol{y} = (y_1, \dots, y_n)\) předpisem \[ \boldsymbol{y}(t) := \begin{pmatrix} d_1 & d_2 & d_3 & \cdots & d_{n-1} & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & ⋰ & \vdots & \vdots \\ d_{n-2} & d_{n-1} & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ d_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x(t) \\ x'(t) \\ \vdots \\ x^{(n-3)}(t) \\ x^{(n-2)}(t) \\ x^{(n-1)}(t) \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R}. \] Potom pro exponenciálu \(e^{\boldsymbol{A}t}\) platí \[ e^{\boldsymbol{A}t} = y_1(t) \boldsymbol{I}_n + y_2(t) \boldsymbol{A}+ \dots + y_n(t) \boldsymbol{A}^{n-1}. \]

Teorém 21 (Putzerův algoritmus) Nechť \(\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n \times n}\) je daná matice a \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) systém všech jejích (ne nutně různých) vlastních čísel. Potom exponenciála \(e^{\boldsymbol{A}t}\) splňuje \[ e^{\boldsymbol{A}t} = \sum_{k = 0}^{n-1} p_{k+1}(t) \boldsymbol{M}_k, \quad t \in \mathbb{R}, \] kde \(n \times n\) matice \(\boldsymbol{M}_k\) pro \(k = 0, \dots, n-1\) jsou definované předpisem \[ \boldsymbol{M}_0 := \boldsymbol{I}_n, \quad \boldsymbol{M}_k := \prod_{j = 1}^k (\boldsymbol{A}- \lambda_j \boldsymbol{I}_n), \quad k = 1, \dots, n, \] a vektorová funkce \(\boldsymbol{p} = (p_1, \dots, p_n)\) je řešením počáteční úlohy \[ \boldsymbol{p}' = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda_n \end{pmatrix} \cdot \boldsymbol{p}, \quad \boldsymbol{p}(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

2.4.2 Metoda (zobecněných) vlastních vektorů

Teorém 22 Nechť je \(\lambda \in \mathbb{C}\) nějaké vlastní číslo dané matice \(\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{n\times n}\). Dále nechť \(\boldsymbol{v}_1, \dots,\boldsymbol{v}_p \in \mathbb{C}^n\) je nějaký soubor lineárně nezávislých vektorů, které odpovídají vlastnímu číslu \(\lambda\). Potom vektorové funkce \[ \boldsymbol{x}_j(t) := e^{\lambda t} \boldsymbol{v}_j, \quad j = 1, \dots, p, \] jsou lineárně nezávislé řešení systému (14) na celé reálné ose \(\mathbb{R}\). Dále, pokud je \(\tilde \lambda \in \mathbb{C}\) nějaké další vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) různé od \(\lambda\) a \(\tilde{\boldsymbol{v}}_1, \dots, \tilde{\boldsymbol{v}}_r \in \mathbb{C}^n\) je nějaký soubor lineárně nezávislých vektorů, které odpovídají vlastnímu číslu \(\tilde \lambda\), potom jsou funkce \[ e^{\lambda t} \boldsymbol{v}_j, \quad j = 1, \dots, p, \quad e^{\tilde \lambda t} \tilde{\boldsymbol{v}}_k, \quad k = 1, \dots, r \] lineárně nezávislé.

Ve zkratce připomeňme, že algebraická násobnost \(\mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\) vlastního čísla \(\lambda\) matice \(\boldsymbol{A}\) se označuje násobnost \(\lambda\) jako kořene charakteristického polynomu. Dále maximální počet lineárně nezávislých vlastních vektorů, tj. dimenze prostor, který generují všechny vlastní vektory příslušné tomuto vlastnímu číslu, označujeme jako geometrická násobnost a značíme ji \(\mu_{\mathrm G} \left( \lambda \right)\). Ve všeobecnosti navíc platí \[ 1 \leq \mu_{\mathrm G} \left( \lambda \right)\leq \mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right). \]

Definice 5 (Zobecněný vlastní vektor) Nechť \(\boldsymbol{A}\) je čtvercová komplexní matice řádu \(n \times n\) a nechť \(\lambda \in \mathbb{C}\) je nějaké její vlastní číslo. Pro dané \(r \in \mathbb{N}\) se vektor \(\boldsymbol{v}_r \in \mathbb{C}^n \setminus \left\{\boldsymbol{0}\right\}\) se nazývá zobecněný vlastní vektor řádu \(r\) matice \(\boldsymbol{A}\), který přísluší vlastnímu číslu \(\lambda\), pokud platí \[ (\boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n)^r \boldsymbol{v}_r = \boldsymbol{0} \quad \land \quad (\boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n)^{r-1} \boldsymbol{v}_r \neq \boldsymbol{0}. \]

Pokud je \(\boldsymbol{v}_r\) zobecněný vlastní vektor řádu \(r\) matice \(\boldsymbol{A}\) příslušící vlastnímu číslu \(\lambda\), potom konečná posloupnost vektorů \(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_r\) definovaných jako \[ \boldsymbol{v}_j := (\boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n)^{r-j} \boldsymbol{v}_r, \quad j = 1, \dots, r, \tag{15}\] se nazývá řetězec řádu \(r\) zobecněných vlastních vektorů matice \(\boldsymbol{A}\), který je generovaný vlastním vektorem \(\boldsymbol{v}_r\).

Lemma 3 Systém vektorů \(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_r\) definovaný v (15) je lineárně nezávislý. Jinými slovy, každý řetězec zobecněných vlastních vektorů matice \(\boldsymbol{A}\), který přísluší jejímu vlastnímu číslu \(\lambda\), je tvořenými lineárně nezávislými vektory.

Teorém 23 Nechť je \(\boldsymbol{v}_1, \dots, \boldsymbol{v}_r\) nějaký řetězec řádu \(r\), definovaný v (15), zobecněných vlastních vektorů matice \(\boldsymbol{A}\), který přísluší vlastnímu číslu \(\lambda\), potom vektorové funkce \[ \boldsymbol{x}_j(t) := e^{\lambda t} \sum_{k = 0}^{j-1} \frac {t^k} {k!} \boldsymbol{v}_{j-k}, \quad j = 1, \dots, r \] jsou lineárně nezávislá řešení systému (14) na celém \(\mathbb{R}\).

2.4.3 Weyrova teorie charakteristických čísel

Nechť \(\boldsymbol{A}\) je čtvercová matice řádu \(n\) a nechť \(\lambda \in \mathbb{C}\) je nějaké její vlastní číslo s algebraickou násobností \(\mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\). Nechť \[ \left\{\boldsymbol{v}_1^{[j]}, \dots, \boldsymbol{v}_{r_j}^{[j]}\right\}, \quad j = 1, \dots, q \tag{16}\] je nějaký soubor řetězců zobecněných vlastních čísel. Položme \(R := \max \left\{r_1, \dots, r_q\right\}\). Říkáme, že řetězce v (16) jsou disjunktní, pokud pro každý index \(k \in \left\{1, \dots, R\right\}\) je systém všech možných vektorů \[ \boldsymbol{v}_k^{[1]}, \boldsymbol{v}_k^{[2]}, \dots, \boldsymbol{v}_k^{[q-1]}, \boldsymbol{v}_k^{[q]} \] lineárně nezávislý, což se stane právě v případě, že jsou vektory \(\boldsymbol{v}_1^{[1]}, \dots, \boldsymbol{v}_1^{[q]}\) lineárně nezávislé. Pod nulitou (defektem) matice budeme dále označovat dimenzi jejího jádra, tj. v našem kontextu budeme psát \[ \nu_l := \mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)^l := \dim \ker (\boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n)^l, \quad l \in \mathbb{N}_0. \]

Teorém 24 Pro dané vlastní číslo \(\lambda\) matice \(\boldsymbol{A}\) existuje nejmenší \(L \in \mathbb{N}\) takové, že \[ 0 = \nu_0 < \nu_1 < \dots < \nu_{L - 1} < \nu_L \] a \(\nu_l = \nu_L\) pro každé \(l \geq L\). Navíc platí \(\nu_L = \mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\), kde \(\mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\) je algebraická násobnost vlastního čísla \(\lambda\).

Definice 6 (Weyrovy charakteristiky) Pro dané vlastní číslo \(\lambda\) matice \(\boldsymbol{A}\) se přirozená čísla \[ \sigma_l := \nu_l - \nu_{l-1}, \quad l = 1, \dots, L \] označují jako Weyrovy charakteristiky (charakteristická čísla) matice \(\boldsymbol{A}\), které přísluší vlastnímu číslu \(\lambda\).

Lemma 4 Pro dané vlastní číslo \(\lambda\) matice \(\boldsymbol{A}\) platí rovnost \[ \mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)^l - \mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)^{l-1} = \dim \left[ \mathrm{im}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)^{l-1} \cap \ker \left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right) \right] \] pro každé \(l = 1, \dots, L\). Obzvlášť, Weyrovy charakteristiky \(\sigma_l\) splňují \[ \sigma_l = \dim \left[ \mathrm{im}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)^{l-1} \cap \ker \left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right) \right], \quad l = 1, \dots, L. \]

Teorém 25 Pro dané vlastní číslo \(\lambda\) matice \(\boldsymbol{A}\) je hodnota \[ L := \max \left\{q_j\right\}, \] kde \(q_j\) jsou rozměry bloků Jordanova kanonického tvaru matice \(\boldsymbol{A}\) s vlastním číslem \(\lambda\), délka nejdelšího řetězce zobecněných vlastních vektorů matice \(\boldsymbol{A}\), který odpovídá vlastnímu číslu \(\lambda\). Pro každé \(l = 1, \dots, L\) je maximální počet disjunktních řetězců zobecněných vlastních vektorů délky \(l\) roven hodnotě \(\sigma_l\).

Teorém 26 Nechť \(\boldsymbol{A}\) je čtvercová matice řádu \(n\) a \(\lambda \in \mathbb{C}\) je její vlastní číslo s algebraickou násobností \(\mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\). Potom existuje právě \(\mu_{\mathrm A} \left( \lambda \right)\) lineárně nezávislých zobecněných vlastních vektorů matice \(\boldsymbol{A}\), které přísluší vlastnímu číslu \(\lambda\). Tyto vektory se dají rozdělit do \(\sigma_1 = \nu_1 = \mathrm{nullity}\left( \boldsymbol{A}- \lambda \boldsymbol{I}_n \right)\) disjunktních řetězců.

2.5 Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů

Nechť \(n \in \mathbb{N}\) je dané přirozené číslo. Diferenciální rovnice \[ y^{(n)} + p_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \dots + p_1(t) y' + p_0(t) y = f(t), \tag{17}\] kde \(f\) a \(p_k\), pro \(k = 0, \dots, n-1\), jsou reálné skalární funkce definované a spojité na daném intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\), se nazývá lineární diferenciální rovnice \(n\)-tého řádu. Pokud \(f \equiv 0\) na celém intervalu \(\mathcal{I}\), hovoříme o homogenní LDR \(n\)-tého řádu, tj. \[ y^{(n)} + p_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \dots + p_1(t) y' + p_0(t) y = 0. \tag{18}\] Levou stranu rovnice (17) často označujeme výrazem \(\mathsf{L}y\), kde \(\mathsf{L}: C^{n}(\mathcal{I}) \to C^{}(\mathcal{I})\) je lineární diferenciální operátor \(n\)-tého řádu.

Úplným řešení rovnice \(\mathsf{L}y = f(t)\) na intervalu \(\mathcal{I}\) se rozumí funkce \(\psi \in C^{n}(\mathcal{I})\), která identicky splňuje rovnici (17) na intervalu \(\mathcal{I}\). Počáteční (Cauchyho) úlohou se označuje systém podmínek \[ \mathsf{L}y = f(t), \quad y(t_0) = \eta_1, \quad y'(t_0) = \eta_2, \quad \dots, \quad y^{(n-1)} (t_0) = \eta_n, \tag{19}\] kde \(t_0 \in \mathcal{I}\) je daný bod (časový okamžik) a \(\eta_1, \dots, \eta_n\) jsou dané reálné konstanty.

Teorém 27 (Převod na lineární systém) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný interval a \(t_0\) daný bod. Dále nechť funkce \(\psi\) je (úplné) řešení počáteční úlohy (19) na intervalu \(\mathcal{I}\). Položme \[ \varphi_1(t) := \psi(t), \quad \varphi_2(t) := \psi'(t), \quad \dots, \quad \varphi_n(t) := \psi^{(n-1)}(t), \quad t \in \mathcal{I}. \] Potom vektorová funkce \(\boldsymbol{\varphi}:= (\varphi_1, \dots, \varphi_n)^\top\) je (úplným) řešením počáteční úlohy (10) na \(\mathcal{I}\) s maticovou funkcí \(\boldsymbol{A}\) a vektorovou funkcí \(\boldsymbol{b}\) tvaru \[ \boldsymbol{A}(t) := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -p_0(t) & -p_1(t) & -p_2(t) & \cdots & -p_{n-1}(t) \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ f(t) \end{pmatrix}, \tag{20}\] které splňuje počáteční podmínku \(\boldsymbol{\varphi}(t_0) = \boldsymbol{\eta }:= (\eta_1, \dots, \eta_n)^\top\). Naopak, pro každé (úplné) řešení \(\boldsymbol{\varphi}= (\varphi_1, \dots, \varphi_n)^\top\) systému (20) na \(\mathcal{I}\), které splňuje počáteční úlohu \(\boldsymbol{\varphi}(t_0) = \boldsymbol{\eta }= (\eta_1, \dots, \eta_n)^\top\), je jeho první složka \(\varphi_1\) (úplným) řešení počáteční úlohy (19) na celém \(\mathcal{I}\).

Teorém 28 (Existence a jednoznačnost) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný interval, \(t_0 \in \mathcal{I}\) daný bod a \(\eta_1, \dots, \eta_n \in \mathbb{R}\) dané konstanty. Dále nechť \(f\) a \(p_k\), pro \(k = 0, \dots, n-1\), jsou reálné funkce definované a spojité na \(\mathcal{I}\). Potom počáteční úloha (19) má právě jedno úplné řešení na celém \(\mathcal{I}\).

2.5.1 Wronskián a lineární nezávislost funkcí

Definice 7 Nechť \(u_1, \dots, u_n\) je systém skalárních funkcí, které mají na daném intervalu \(\mathcal{I}\) spojité všechny derivace až do řádu \(n-1\) včetně. Čtvercová matice \[ \boldsymbol{X}(t) := \begin{pmatrix} u_1(t) & u_2(t) & \cdots & u_n(t) \\ u_1'(t) & u_2'(t) & \cdots & u_n'(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ u^{(n-1)}_1(t) & u^{(n-1)}_2(t) & \cdots & u^{(n-1)}_n(t) \end{pmatrix}, \quad t \in \mathcal{I}, \] se nazývá Wronského matice systému \(u_1, \dots, u_n\) na intervalu \(\mathcal{I}\) a její determinant \[ \mathcal{W}\left[ u_1, \dots, u_n \right](t) := \det \boldsymbol{X}(t), \quad t \in \mathcal{I}, \tag{21}\] se označuje jako wronskián funkcí \(u_1, \dots, u_n\) na \(\mathcal{I}\).

Teorém 29 Nechť jsou splněny předpoklady Definice 7. Pokud existuje takové \(t_0 \in \mathcal{I}\), že wronskián \(\mathcal{W}\left[ u_1, \dots, u_n \right](t_0) \neq 0\), potom jsou funkce \(u_1, \dots, u_n\) lineárně nezávislé na intervalu \(\mathcal{I}\).

Teorém 30 (Liouvilleův-Jacobiho-Abelův-Ostrogradského vzorec) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný interval a \(t_0 \in \mathcal{I}\) daný bod. Pro každou \(n\)-tici řešení \(y_1, \dots, y_n\) homogenní lineární rovnice (18) platí pro jejich odpovídající wronskián \(\mathcal{W}\left[ y_1, \dots, y_n \right]\) z (21) vztah \[ \mathcal{W}\left[ y_1, \dots, y_n \right](t) =\mathcal{W}\left[ y_1, \dots, y_n \right] (t_0) e^{-\int_{t_0}^t p_{n-1}(s) \mathrm{d}s}, \quad t \in \mathcal{I}. \]

Lineární závislost/nezávislost řešení

Řešení \(y_1, \dots, y_n\) homogenní rovnice (18) jsou lineárně nezávislá na intervalu \(\mathcal{I}\) právě tehdy, když je jejich odpovídající wronskián \(\mathcal{W}\left[ y_1, \dots, y_n \right]\) nenulový na celém \(\mathcal{I}\). Podobně, řešení \(y_1, \dots, y_n\) rovnice (18) jsou lineárně závislé právě tehdy, když je jejich wronskián \(\mathcal{W}\left[ y_1, \dots, y_n \right](t) = 0\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\).

2.5.2 Snížení řádu homogenní rovnice

Teorém 31 Nechť je funkce \(\psi\) (úplné) řešení homogenní lineární rovnice (18) na intervalu \(\mathcal{I}\), přičemž \(\psi(t) \neq 0\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\). Definujme funkci \[ z(t) := \left( \frac {y(t)} {\psi (t)} \right)', \quad t \in \mathcal{I}. \tag{22}\] Pokud je funkce \(y\) (úplným) řešenímm rovnice (18) na \(\mathcal{I}\), potom funkce \(z\) v (22) je (úplným) řešením jisté homogenní lineární difereciální rovnice řádu \(n-1\) se spojitými koeficienty na intervalu \(\mathcal{I}\).

2.5.3 Metoda variace konstant – nehomogenní rovnice

Teorém 32 (Metoda variace konstant) Nechť \(y_1, \dots, y_n\) je fundamentální systém řešení homogenní rovnice (18) na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom funkce \(y\) je (úplné) řešení lineární rovnice (17) na intervalu \(\mathcal{I}\) právě tehdy, když platí \[ y(t) = \left\langle \boldsymbol{c}(t), \overbrace{(y_1(t), \dots, y_n(t))}^{\boldsymbol{y}(t)} \right\rangle = c_1 y_1(t) + \dots + c_n (t) y_n(t), \quad t \in \mathcal{I}, \] kde \(c_1, \dots, c_n \in C^{1}(\mathcal{I})\) splňující \[ \begin{pmatrix} y_1(t) & y_2(t) & \cdots & y_n(t) \\ y_1'(t) & y_2'(t) & \cdots & y_n'(t) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ y^{(n-1)}_1(t) & y^{(n-1)}_2(t) & \cdots & y^{(n-1)}_n(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c'_1(t) \\ c'_2(t) \\ \vdots \\ c'_n(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ f(t) \end{pmatrix}, \quad t \in \mathcal{I}. \]

2.5.4 Lineární rovnice s konstantními koeficienty

Nyní se budeme věnovat speciálnímu případu homogenní rovnice (18) s konstantními koeficienty, tj. funkce \(p_k\) pro \(k = 0, \dots, n-1\) budou konstantní.

Teorém 33 (Fundamentální systém řešení) Nechť \(p_k\), pro \(k = 0, \dots, n-1\), v (18) jsou konstantní funkce. Uvažujme tzv. charakteristický polynom \[ p(\lambda) = \lambda^n + p_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + p_1 \lambda + p_0 \tag{23}\] rovnice (18). Pokud \(\mu \in \mathbb{C}\) je \(m\)-násobný kořen polynomu \(p\) v (23), potom funkce \(t^l e^{\mu t}\), \(l = 0, \dots, m-1\), jsou lineárně nezávislé řešení rovnice (18) na celém \(\mathbb{R}\).

3 Systémy nelineárních diferenciálních rovnic

3.1 Systém diferenciálních rovnic

Nechť \(n \in \mathbb{N}\) je pevně zvolené čislo. Soubor rovnic \[ \begin{gathered} x_1' = f_1(t, x_1, \dots, x_n), \\ x_2' = f_2(t, x_1, \dots, x_n), \\ \vdots \\ x_n' = f_n(t, x_1, \dots, x_n), \end{gathered} \] kde \(f_k(t, x_1, \dots, x_n)\) s \(k = 1, \dots, n\) jsou reálné funkce definované na dané množině \(M \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) a znak \('\) znamená \(\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}\,\). Tento systém můžeme přepsat do vektorového tvaru \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}). \tag{24}\] Řešením systému (24) rozumíme každou \(n\)-vektorovou funkci \(\boldsymbol{\varphi}(t)\) definovanou a diferencovatelnou na nějakém podintervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathbb{R}\), pro kterou \([t, \varphi_1(t), \dots, \varphi_n(t)] \in M\) a \(\boldsymbol{\varphi}'(t) = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{\varphi}(t))\) pro každé \(t \in \mathcal{J}\). Opět mějme počáteční (Cauchyho) úlohu \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{\eta}, \tag{25}\] kde \(t_0 \in \mathbb{R}\) je daný bod a \(\boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\) daný vektor tak, že \([t_0, \boldsymbol{\eta}] \in M\). Říkáme, že počáteční úloha (25) je jednoznačná, pokud pro každé dvě řešení \(\boldsymbol{x}\) a \(\boldsymbol{y}\) úlohy (25), které existují na intervalech \(\mathcal{I}_{\boldsymbol{x}}\) a \(\mathcal{I}_{\boldsymbol{y}}\), existuje \(\delta > 0\) s vlastností \[ \boldsymbol{x}(t) = \boldsymbol{y}(t) \quad \forall t \in \mathcal{I}_{\boldsymbol{x}} \cap \mathcal{I}_{\boldsymbol{y}} \cap (t_0 - \delta, t_0 + \delta). \]

Lemma 5 Nechť je daná \((n+1)\)-vektorová funkce \(\boldsymbol{f}\) spojitá na množině \(M \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\). Potom \(n\)-vektorová funkce \(\boldsymbol{\varphi}\) je řešení počáteční úlohy (25) na nějakém intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}^n\) právě tehdy, když platí \[ [t, \boldsymbol{\varphi}(t)] \in M \quad \& \quad \boldsymbol{\varphi}(t) = \boldsymbol{\eta }+ \int_{t_0}^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{\varphi}(s)) \mathrm{d}s \] pro každé \(t \in \mathcal{I}\).

3.2 Existence a jednoznačnost řešení

Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný kompaktní interval a \(\mathcal{A}\) daná množina funkcí spojitých na \(\mathcal{I}\). Připomeňme, že funkce z \(\mathcal{A}\) se označují jako stejnoměrně ohraničené na \(\mathcal{I}\), pokud existuje konstanta \(K > 0\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{f}(t) \right\rVert \leq K \quad \forall t \in \mathcal{I}\; \forall \boldsymbol{f}\in \mathcal{A}. \tag{26}\] Podobně, funkce z \(\mathcal{A}\) se nazývají stejně spojité (rovnako spojité) na intervalu \(\mathcal{I}\), pokud pro každé \(\varepsilon> 0\) existuje \(\delta > 0\) s vlastností, že pokud pro body \(t_1, t_2 \in \mathcal{I}\) platí \[ \left| t_2 - t_1 \right| < \delta \implies \left\lVert \boldsymbol{f}(t_2) - \boldsymbol{f}(t_1) \right\rVert < \varepsilon\quad \forall \boldsymbol{f}\in \mathcal{A}. \tag{27}\]

Teorém 34 (Arzelàova–Ascoliho) Pro množinu \(\mathcal{A}\) funkcí spojitých na kompaktním intervalu \(\mathcal{I}\) platí, že každá posloupnost \(\left\{\boldsymbol{f}_m\right\}_{m = 1}^\infty \subseteq \mathcal{A}\) obsahuje podposloupnost \(\left\{\boldsymbol{f}_{m_k}\right\}_{k = 1}^\infty\) stejnoměrně konvergentní na \(\mathcal{I}\) právě tehdy, když funkce z množiny \(\mathcal{A}\) splňují podmínky (26) a (27). Množina \(\mathcal{A}\) se potom označuje jako relativně kompaktní v prostoru funkcí spojitých na kompaktním intervalu \(\mathcal{I}\).

Teorém 35 (Peanova) Nechť \(a,b\) jsou dané kladné reálné čísla a nechť \(t_0 \in \mathbb{R}\) je daný bod a \(\boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\) daný vektor. Definujme množiny \[ \mathcal{I}:= [t_0, t_0 + a], \quad B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right] := \left\{\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n; \left\lVert \boldsymbol{y}- \boldsymbol{\eta} \right\rVert \leq b\right\}. \] Nechť \(f : \mathcal{I}\times B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right] \to \mathbb{R}^n\) je daná spojitá a identicky nenulová funkce. Označme \[ m := \max_{[t, \boldsymbol{y}] \in \mathcal{I}\times B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right]} \left\lVert \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \right\rVert. \] Potom má počáteční úloha (25) alespoň jedno řešení, které existuje na intervalu \(\mathcal{J}:= [t_0, t_0 + \alpha]\), kde číslo \(\alpha := \min \left\{a, \frac b m\right\}\).

Definice 8 (Lipschitzovská a kontraktivní funkce) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný interval a \(D \subseteq \mathbb{R}^n\) daná množina. Říkáme, že funkce \(f: \mathcal{I}\times D \to \mathbb{R}^n\) je lipschitzovská, resp. splňuje Lipschitzovu podmínku vzhledem na proměnnou \(\boldsymbol{x}\in D\), pokud existuje \(L \geq 0\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}) - \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \right\rVert \leq L \left\lVert \boldsymbol{x}- \boldsymbol{y} \right\rVert \quad \forall [t,\boldsymbol{x}], [t, \boldsymbol{y}] \in \mathcal{I}\times D. \] Čislo \(L\) se potom označuje jako Lipschitzova konstanta funkce \(\boldsymbol{f}\). Obzvlášť, v případě že \(L < 1\) říkáme, že funkce \(\boldsymbol{f}\) je kontrakce.

Teorém 36 (Picardova–Lindelöfova) Nechť platí předpoklady a označení Teorém 35. Nechť je navíc funkce \(\boldsymbol{f}\) lipschitzovská vzhledem k proměnné \(\boldsymbol{x}\) na množině \(\mathcal{I}\times D\). Potom počáteční úloha (25) má právě jedno řešení, které existuje na intervalu \([t_0, t_0 + \alpha]\).

V moderní teorii diferenciálních rovnic se využívají výsledky z funkcionální analýzy, např. věty o pevných bodech.

Teorém 37 (Banachova o pevném bodě) Nechť \((X, \rho)\) je (neprázdný) úplný metrický prostor. Potom každé kontraktivní zobrazení \(T : X \to X\) má právě jeden pevný bod v \(X\).

Teorém 38 (Schauderova o pevném bodě) Nechť \((X, \left\lVert \cdot \right\rVert)\) je normovaný lineární prostor na \(\mathbb{R}\), \(\mathcal{A} \subseteq X\) neprázdná uzavřená konvexní množina \(T: \mathcal{A} \to \mathcal{A}\) spojité zobrazení. Pokud je obraz \(T(\mathcal{A})\) množině relativně kompaktní v \(X\), viz Teorém 34, potom má zobrazení \(T\) alespoň jeden pevný bod v \(\mathcal{A}\).

Tyto výsledky Teorém 37 a Teorém 38 lze pak použít na alternativní důkazy Teorém 35 a Teorém 36, přičemž u důkazu Teorém 36 dostaneme tzv. Picardovu posloupnost postupných aproximací \(\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}_{k = 1}^\infty\), která je definovaná induktivně předpisem \[ \boldsymbol{x}_{k+1}(t) = [T \boldsymbol{x}_k](t) = \boldsymbol{\eta }+ \int_{t_0}^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}_k(s)) \mathrm{d}s, \] přičemž \(\boldsymbol{x}_1\) je libovolná spojitá \(n\)-vektorová funkce na \(\mathcal{J}= [t_0, t_0 + \alpha]\), která splňuje \(\left\lVert \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{\eta} \right\rVert \leq b\) ve vhodné normě určené v důkazu.

Tip

Poznamenejme, že v případě, kdy má funkce \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) ohraničené parciální derivace podle proměnné \(\boldsymbol{x}\) na konvexní oblasti \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\), potom je \(\boldsymbol{f}\) lipschitzovská na množině \(\Omega\) vzhledem k proměnné \(\boldsymbol{x}\).

3.2.1 Globální jednoznačnost řešení

Definice 9 (Lokálně lipschitzovská funkce) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná otevřená množina. Říkáme, že \((n+1)\)-vektorová funkce \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je lokálně lipschitzovská na \(\Omega\) vzhledem na proměnnou \(\boldsymbol{x}\), pokud pro každý pod \([t_0, \boldsymbol{\eta}] \in \Omega\) existuje okolí \(\mathcal{O}\left( t_0, \boldsymbol{\eta} \right) \subseteq \Omega\) a nezáporné reálné číslo \(L(t_0, \boldsymbol{\eta})\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{u}) - \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{v}) \right\rVert \leq L(t_0, \boldsymbol{\eta}) \left\lVert \boldsymbol{u} - \boldsymbol{v} \right\rVert \quad \forall [t, \boldsymbol{u}], [t,\boldsymbol{v}] \in \mathcal{O}\left( t_0, \boldsymbol{\eta} \right). \] Číslo \(L(t_0, \boldsymbol{\eta})\) se označuje jako lokální Lipschitzova konstanta funkce \(\boldsymbol{f}\) na \(\Omega\).

Teorém 39 (Globální jednoznačnost úplného řešení) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná konvexní oblast a \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá a lokálně lipschitzovská funkce na \(\Omega\) vzhledem na proměnnou \(\boldsymbol{x}\). Potom každé úplné řešení rovnice (24) je určené jednoznačně. Přesněji, každým bodem \([t_0, \boldsymbol{\eta}] \in \Omega\) prochází právě jedna integrální křivka rovnice (24).

3.3 Problém prodlužování řešení

Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná oblast a vektorová funkce \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá. Připomeňme, že pokud jsou \(\boldsymbol{\varphi}\) a \(\boldsymbol{\psi}\) dvě řešení systému (24), které jsou definované na reálných intervalech \(\mathcal{I}_{\boldsymbol{\varphi}}\) a \(\mathcal{I}_{\boldsymbol{\psi}}\), potom říkáme, že řešení \(\boldsymbol{\psi}\) je prodloužení řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) (resp. řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) je zúžení řešení \(\boldsymbol{\psi}\)), pokud platí \[ \overline{\mathcal{I}_{\boldsymbol{\varphi}}} \subsetneq \mathcal{I}_{\boldsymbol{\psi}} \quad \land \quad \boldsymbol{\varphi}(t) = \boldsymbol{\psi}(t) \; \forall t \in \mathcal{I}_{\boldsymbol{\varphi}}. \]

Definice 10 (Úplné řešení) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná oblast a \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá vektorová funkce. Řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) se označuje jako úplné, pokud není zúžením žádného jiného řešení rovnice (24). Přesněji, řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) je \(\omega\)-úplné, pokud je neprodloužitelné napravo, a \(\alpha\)-úplné, pokud je neprodloužitelné nalevo.

Je možné ukázat, že je-li definičním oborem funkce \(\boldsymbol{f}\) oblast \(\Omega\), pak je každé úplné řešení (24) definované na maximálním otevřeném intervalu.

Lemma 6 Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná oblast a \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá vektorová funkce. Nechť pro daný bod \([t_0, \boldsymbol{\eta}] \in \Omega\) je \(\boldsymbol{\varphi}\) nějaké řešení počáteční úlohy (25), které existuje na ohraničeném intervalu \([t_0, T)\). Potom řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) je prodloužitelné napravo od bodu \(T\) právě tehdy, když jeho graf \(G_{\boldsymbol{\varphi}} := \left\{[t, \boldsymbol{\varphi}(t)]; t \in [t_0, T)\right\} \subseteq \Omega\) je ohraničený v \(\mathbb{R}^{n+1}\) a má kladnou vzdálenost od hranice \(\partial\Omega\) oblasti \(\Omega\).

Teorém 40 (Existence úplného řešení) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je oblast a \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá vektorová funkce. Potom každé řešení rovnice (24) je buď úplné nebo se dá prodloužit na úplné řešení.

Tip

Z důkazu Teorém 40 vyplývá, že řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) existující na intervalu \([t_0, T)\) je \(\omega\)-úplné právě tehdy, když nastává alespoň jedna z následujících možností:

1. bod \(T = \infty\);
2. existuje posloupnost \(\left\{t_k\right\}_{k = 1}^\infty \subseteq [t_0, T)\) s \(\lim_{k \to \infty} t_k = T\), která splňuje \[ \lim_{k \to \infty} \left\lVert \boldsymbol{\varphi}(t_k) \right\rVert = \infty; \]
3. existuje posloupnost \(\left\{t_k\right\}_{k = 1}^\infty \subseteq [t_0, T)\) s \(\lim_{k \to \infty} t_k = T\), která splňuje \[ \lim_{k \to \infty} \mathrm{dist}\left( [t_k, \boldsymbol{\varphi}(t_k)], \partial\Omega \right) = 0. \]

Definice 11 (Limitní bod řešení) Nechť vektorová funkce \(\boldsymbol{\varphi}\) je úplné řešení systému (24), které existuje na intervalu \((S,T)\) s \(-\infty \leq S < T \leq \infty\). Říkáme, že bod \([S, \boldsymbol{\eta}], \boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\), je levým limitním bodem řešení \(\boldsymbol{\varphi}\), pokud \(S > -\infty\) a existuje posloupnost \(\left\{t_k\right\}_{k = 1}^\infty \subseteq (S,T)\) taková, že \[ \lim_{k \to \infty} t_k = S^+ \quad \land \quad \lim_{k \to \infty} \boldsymbol{\varphi}(t_k) = \boldsymbol{\eta}. \] Obdobně pro pravý limitní bod, přičemž limitním bodem rozumíme buď pravý nebo levý limitní bod.

Teorém 41 (Limitní bod úplného řešení) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je oblast a \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá funkce. Potom každý limitní bod libovolného úplného řešení rovnice (24) leží na hranici \(\partial\Omega\) oblasti \(\Omega\).

Tip

Nechť \(t_0 \in \mathbb{R}\) je daný bod a \(\mathcal{I}:= [t_0, \infty)\) interval. Nechť \(\boldsymbol{f}: \mathcal{I}\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) je vektorová funkce, která je spojitá a ohraničená na celém svém definičním oboru. Potom každé \(\omega\)-úplné řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24), které vychází z bodu \([t_0, \boldsymbol{\eta}], \boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\), existuje na celém intervalu \(\mathcal{I}\).

3.4 Závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech

Teorém 42 Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je oblast a nechť \(\left\{\boldsymbol{f}_k\right\}_{k = 1}^\infty\) je posloupnost funkcí spojitých na \(\Omega\). Nechť dále \(\left\{[t_k, \boldsymbol{\eta}_k]\right\}_{k = 1}^\infty\) je daná posloupnost bodů. Předpokládejme, že \(\left\{\boldsymbol{f}_k\right\}_{k = 1}^\infty\) konverguje skoro stejnoměrně k \(\boldsymbol{f}\) na \(\Omega\) a \([t_k, \boldsymbol{\eta}_k] \to [t_0, \boldsymbol{\eta}] \in \Omega\) pro \(k \to \infty\), tj. \(\boldsymbol{f}_k \rightrightarrows \boldsymbol{f}\) pro \(k \to \infty\) na každé kompaktní podmnožině \(K \subseteq \Omega\). Nechť \(\left\{\boldsymbol{\varphi}_k\right\}_{k = 1}^\infty\) je nějaká posloupnost úplných řešení systému počátečních úloh \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{f}_k(t, \boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}(t_k) = \boldsymbol{\eta}_k, \quad k \in \mathbb{N}. \] Potom existuje vybraná podposloupnost \(\left\{\boldsymbol{\varphi}_{k_j}\right\}_{j = 1}^\infty \subset \left\{\boldsymbol{\varphi}_k\right\}_{k = 1}^\infty\), která stejnoměrně konverguje k jistému řešení počáteční úlohy (25), tj. \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}(t_0) = \boldsymbol{\eta}, \tag{28}\] na nějakém okolí bodu \(t_0\). Pokud navíc úloha (28) má jediné úplné řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) definované na intervalu \(\mathcal{I}\), potom celá posloupnost \(\left\{\boldsymbol{\varphi}_k\right\}_{k = 1}^\infty\) konverguje stejnoměrně k funkci \(\boldsymbol{\varphi}\) na libovolném kompaktním podintervalu \([a,b] \subset \mathcal{I}\) s \(t_0 \in (a,b)\).

Teorém 43 (Závislost řešení na počátečních podmínkách a parametrech) Nechť \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^{m+n+1}\) a nechť \(\boldsymbol{f}: \Omega \to \mathbb{R}^n\) je spojitá vektorová funkce s vlastností, že pro každý bod \([\tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}] \in \mathbb{R}^{m+n+1}\), kde \(\tau \in \mathbb{R}, \boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n, \boldsymbol{\lambda }\in \mathbb{R}^m\), má počáteční úloha \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\lambda}), \quad \boldsymbol{x}(\tau) = \boldsymbol{\eta} \tag{29}\] právě jedno úplné řešení \(\boldsymbol{\varphi}(\cdot, \tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda})\). Potom \(\boldsymbol{\varphi}(t, \tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda})\) je spojitá funkce proměnných \(t, \tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}\) na množině \[ D := \left\{[t, \tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}] \in \mathbb{R}^{m+n+2}; \; [\tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda}] \in \Omega, \; t \in \mathcal{I}(\tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda})\right\}, \] kde \(\mathcal{I}(\tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda})\) je interval, na kterém řešení \(\boldsymbol{\varphi}(\cdot, \tau, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\lambda})\) existuje.

3.5 Diferenciální rovnice vyšších řádů

Nechť \(n \in \mathbb{N}\) je daný index a \(M \subseteq \mathbb{R}^{n+1}\) je daná množina. Budeme uvažovat diferenciální rovnici \(n\)-tého řádu tvaru \[ y^{(n)} = f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}), \tag{30}\] kde \(f : M \to \mathbb{R}\) je skalární funkce. Pod pojmem řešení rovnice (30) na intervalu \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) rozumíme funkci \(\varphi\), která má na \(\mathcal{I}\) všechny derivace až do řádu \(n\) včetně a která splňuje \[ [t, \varphi(t), \varphi'(t), \dots, \varphi^{(n-1)}(t)] \in M, \quad \varphi^{(n)} = f(t, \varphi(t), \varphi'(t), \dots, \varphi^{(n-1)}(t)) \] pro každé \(t \in \mathcal{I}\). Podobně jako bylo uvedeno výše definujeme i úplné řešení. Při řešení počáteční (Cauchyho) úlohy hledáme řešení rovnice (30), pro které je v daném bode \(t_0 \in \mathbb{R}\) předpsaná hodnota prvních \(n-1\) derivací, tj. \[ y^{(n)} f(t, y, y', \dots, y^{(n-1)}), \quad y(t_0) = \eta_0, \; y'(t_0) = \eta_1, \; \dots, \; y^{(n-1)}(t_0) = \eta_{n-1}, \tag{31}\] kde \(\eta_0, \dots, \eta_{n-1} \in \mathbb{R}\) jsou dané hodnoty.

Teorém 44 (Převod na (nelineární) systém) Nechť \(\mathcal{I}\subseteq \mathbb{R}\) je daný interval a \(t_0 \in \mathcal{I}\) daný bod. Nechť funkce \(\psi\) je (úplné) řešení počáteční úlohy (31) na intervalu \(\mathcal{I}\). Položme \[ \varphi_1(t) := \psi (t), \quad \varphi_2(t) := \psi' (t), \quad \dots, \quad \varphi_n(t) := \psi^{(n-1)}(t), \quad t \in \mathcal{I}. \] Potom vektorová funkce \(\boldsymbol{\varphi}= (\varphi_1, \dots, \varphi_n)^\top\) je (úplným) řešením (nelineárního) diferenciálního systému (24) na \(\mathcal{I}\) tvaru \[ \boldsymbol{x}' = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ f(t, \boldsymbol{x}) \end{pmatrix}, \tag{32}\] které splňuje počáteční podmínku \(\boldsymbol{\varphi}(t_0) = \boldsymbol{\eta }:= (\eta_0, \dots, \eta_{n-1})^\top\). Naopak pro každé (úplné) řešení \(\boldsymbol{\varphi}= (\varphi_1, \dots, \varphi_n)^\top\) systému (32) na \(\mathcal{I}\), které splňuje počáteční podmínku \(\boldsymbol{\varphi}(t_0) = \boldsymbol{\eta }= (\eta_0, \dots, \eta_{n-1})^\top\), je jeho první složka \(\varphi_1\) (úplným) řešení počáteční úlohy (31) na celém intervalu \(\mathcal{I}\).

Teorém 45 (Peanova) Nechť \(a,b\) jsou daná kladná reálná čísla, \(t_0 \in \mathbb{R}\) je daný bod a \(\eta_0, \dots, \eta_{n-1} \in \mathbb{R}\) dané konstanty. Definujme vektor \(\boldsymbol{\eta }:= (\eta_0, \dots, \eta_{n-1})^\top\) a množiny \[ \mathcal{I}:= [t_0 - a, t_0 + a], \quad B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right] := \left\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n; \left\lVert \boldsymbol{x}- \boldsymbol{\eta} \right\rVert \leq b\right\}. \] Nechť \(f: \mathcal{I}\times B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right] \to \mathbb{R}\) je daná spojitá funkce. Potom počáteční úloha (31) má alespoň jedno řešení, které je definované na jistém intervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) s \(t_0 \in \mathcal{J}^o\).

Teorém 46 (Picardova–Lindelöfova) Nechť platí požadavky a označení z Teorém 45. Nechť navíc funkce \(f\) splňuje Lipschitzovu podmínku, tj. existuje kladná konstanta \(L\) taková, že \[ \left| f(t, \boldsymbol{u}) - f(t, \boldsymbol{v}) \right| \leq L \left\lVert \boldsymbol{u} - \boldsymbol{v} \right\rVert \] pro každé \(t \in \mathcal{I}\) a každé dva vektory \(\boldsymbol{u} = (u_1, \dots, u_n)^\top\) a \(\boldsymbol{v} = (v_1, \dots, v_n)^\top\) z množiny \(B\left[ \boldsymbol{\eta}, b \right]\). Potom počáteční úloha (31) má právě jedno řešení, které existuje na jistém intervalu \(\mathcal{J}\subseteq \mathcal{I}\) s \(t_0 \in \mathcal{J}^o\).

Tip

Opět nám pro splnění Lipschitzovy podmínky stačí ohraničenost parciálních derivací \(\frac {\partial} {\partial u_k} f(t, u_1, \dots, u_n)\) pro \(k = 1, \dots, n\) na \(\Omega\).

4 Stabilita systémů diferenciálních rovnic

4.1 Pojem systému diferenciálních rovnic

Nechť \(n \in \mathbb{N}\) je daný index, \(t_0 \in \mathbb{R}\) a \(a \in \mathbb{R}_\infty\) daný bod. Uvažujme množiny \[ \mathcal{I}:= [t_0, \infty), \quad D := \left\{\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n; \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert < a\right\}. \] Dále budeme pracovat se systémem (24), kde \(\boldsymbol{f}: \mathcal{I}\times D \to \mathbb{R}^n\) je daná spojitá \(n\)-vektorová funkce. Pod pojmem řešení systému budeme vždy myslet \(\omega\)-úplné, viz Definice 10, definované na celém nekonečném intervalu \(\mathcal{I}\).

Definice 12 (Stabilita řešení) Říkáme, že řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) je (ljapunovsky) stabilní, pokud pro každé \(\varepsilon> 0\) a každý bod \(\tau \geq t_0\) existuje \(\delta > 0\) (závislé na \(\varepsilon\) a \(\tau\)) s vlastností, že pokud řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (24) splňuje \(\left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\varphi}(t) \right\rVert < \delta\), potom řešení \(\boldsymbol{\psi}\) existuje na celém intervalu \([\tau, \infty)\) a platí \(\left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\varphi}(t) \right\rVert < \varepsilon\) pro každé \(t \geq \tau\). V opačném případě se řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) rovnice (24) nazývá nestabilní.

Definice 13 (Stejnoměrná stabilita) Říkáme, že řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) je stejnoměrne stabilní, pokud pro každé \(\varepsilon> 0\) existuje \(\delta > 0\) (závislé na \(\varepsilon\)) takové, že pro každé \(\tau \geq t_0\) platí podmínka ljapunovské stability z Definice 12.

Definice 14 (Asymptotická stabilita) Řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) se označuje jako asymptoticky stabilní, pokud je stabilní ve smyslu Definice 12 a pro každý bod \(\tau \geq t_0\) existuje \(\delta > 0\) s vlastností, že pokud řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (24) splňuje \(\left\lVert \boldsymbol{\psi}(\tau) - \boldsymbol{\varphi}(\tau) \right\rVert < \delta\), potom \(\lim_{t \to \infty} \left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\varphi}(t) \right\rVert = 0\).

Definice 15 (Globální asymptotická stabilita) Řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) se označuje jako globálně asymptoticky stabilní, pokud pro každé řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (24) platí \(\lim_{t \to \infty} \left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\varphi}(t) \right\rVert = 0\).

Definice 16 (Exponenciální stabilita) Řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) se označuje jako exponenciálně stabilní, pokud existují kladné konstanty \(K, \alpha\) a \(\delta\) takové, že pro každé \(\tau \geq t_0\) je řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (24) splňující \(\left\lVert \boldsymbol{\psi}(\tau) - \boldsymbol{\varphi}(\tau) \right\rVert < \delta\) definované na celém intervalu \([\tau, \infty)\) a platí \[ \left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) - \boldsymbol{\varphi}(t) \right\rVert \leq K \left\lVert \boldsymbol{\psi}(\tau) - \boldsymbol{\varphi}(\tau) \right\rVert e^{-\alpha (t - \tau)} \quad \forall t \geq \tau. \]

Důležité

Analýzou výše uvedených definic není těžké dokázat implikace \[ \text{globální asymptotická stabilita} + \text{stabilita} \implies \text{asymptotická stabilita} \implies \text{stabilita}, \] resp. implikace \[ \text{exponenciální stabilita} \implies \text{asymptotická stabilita} \implies \text{stabilita}, \] resp. implikaci \[ \text{exponenciální stabilita} \implies \text{stejnoměrná stabilita}. \]

4.2 Stabilita triviálního řešení

Uvědomme si, že při vyšetřování stability daného řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) můžeme pomocí transformace \(\boldsymbol{y}:= \boldsymbol{x}- \boldsymbol{\varphi}\) získat nový systém \[ \boldsymbol{y}' = \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}+ \boldsymbol{\varphi})- \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{\varphi}), \tag{33}\] který má triviální, tj. identicky nulové, řešení se stejnými vlastnostmi stability. Každý takový systém se pak dá vyjádřit v tvaru \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}+ \boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{x}), \tag{34}\] kde \(\boldsymbol{A}: \mathcal{I}\to \mathbb{R}^{n\times n}\) je spojitá maticová funkce a \(\boldsymbol{b}: \mathcal{I}\times D \to \mathbb{R}^n\) je spojitá \(n\)-vektorová funkce s vlastností \(\boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{0}) = \boldsymbol{0}\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\). Také budeme ještě uvažovat k (34) jeho homogenní variantu \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x} \] odpovídající systému (12).

Lemma 7 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je \(n \times n\) maticová funkce spojitá na intervalu \(\mathcal{I}\). Předpokládejme, že existuje nezáporná funkce \(\varepsilon: \mathcal{I}\to \mathbb{R}\) a kladné číslo \(\delta\) s vlastností, že \(\left\lVert \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{\eta} \right\rVert \leq \varepsilon(t)\) pro každé \(\boldsymbol{\eta }\in \mathbb{R}^n\) s \(\left\lVert \boldsymbol{\eta} \right\rVert \leq \delta\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\). Potom existuje kladná konstanta \(K\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{X}(t) \right\rVert \leq K \varepsilon(t) \quad \forall t \in \mathcal{I}. \]

Teorém 47 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je nějaká daná fundamentální matice homogenního systému (12). Potom nulové řešení systému (12) je (ljapunovsky) stabilní právě tehdy, kdž existuje kladná konstanta \(L\) s vlastností \(\left\lVert \boldsymbol{X}(t) \right\rVert \leq L\) pro každé \(t \in \mathcal{I}\).

Důsledek 2 Nechť je matice \(\boldsymbol{A}\) systému (12) konstantní. Potom je nulové řešení systému (12) stabilní právě tehdy, když má každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) nekladnou reálnou část a vlastní čísla s nulovou reálnou částí jsou jednoduchá.

Teorém 48 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je nějaká daná fundamentální matice homogenního systému (12). Potom je nulové řešení systému (12) stejnoměrně stabilní právě tehdy, když existuje kladná konstanta \(L\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{X}^{-1}(\tau) \right\rVert \leq L \] pro každé \(t, \tau \in \mathcal{I}\) splňující \(t \geq \tau\).

Důsledek 3 Nechť je matice \(\boldsymbol{A}\) systému (12) konstantní na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom je nulové řešení systému (12) stejnoměrně stabilní právě tehdy, když je stabilní. Podle Důsledek 2 je to právě tehdy, když má každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) nekladnou reálnou část a vlastní čísla s nulovou reálnou částí jsou jednoduchá.

Teorém 49 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je nějaká daná fundamentální matice homogenního systému (12). Potom je nulové řešení systému (12) asymptoticky stabilní právě tehdy, když platí \[ \lim_{t \to \infty} \left\lVert \boldsymbol{X}(t) \right\rVert = 0. \]

Důsledek 4 Nulové řešení systému (12) je asymptoticky stabilní právě tehdy, když je globálně asymptoticky stabilní, tj. pokud pro každé řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (12) platí \[ \lim_{t \to \infty} \left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) \right\rVert = 0. \]

Důsledek 5 Nechť je matice \(\boldsymbol{A}\) systému (12) konstantní na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom je nulové řešení systému (12) (globálně) asymptoticky stabilní právě tehdy, když má každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) zápornou reálnou část.

Nechť nyní \(p\) je polynom stupně \(n \geq 1\) s reálnými koeficienty tvaru \[ p(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dots + a_1 \lambda + a_0, \quad a_n > 0. \tag{35}\] Matice \(\boldsymbol{H}\left( p \right) \in \mathbb{R}^{n \times n}\) definovaná předpisem \[ \boldsymbol{H}\left( p \right) := \begin{pmatrix} a_{n-1} & a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ a_{n-3} & a_{n-2} & a_{n-1} & a_n & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a_0 & a_1 & a_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a_0 \end{pmatrix} \tag{36}\] se nazývá Hurwitzova matice polynomu \(p\).

Teorém 50 (Routhovo–Hurwitzovo kritérium) Každý kořen polynomu \(p\) v (35) má zápornou reálnou část právě tehdy když Hurwitzova matice \(\boldsymbol{H}\left( p \right)\) v (36) má všechny vedoucí hlavní minory kladné.

Teorém 51 Nechť \(\boldsymbol{X}\) je nějaká daná fundamentální matice homogenního systému (12). Potom je nulové řešení systému (12) exponenciálně stabilní právě tehdy, když existují kladné konstanty \(L\) a \(\alpha\) s vlastností \[ \left\lVert \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{X}^{-1}(\tau) \right\rVert \leq L e^{-\alpha (t - \tau)} \] pro každé \(t, \tau \in \mathcal{I}\) splňující \(t \geq \tau\).

Důsledek 6 Nechť je matice \(\boldsymbol{A}\) systému (12) konstantní na intervalu \(\mathcal{I}\). Potom je nulové řešení systému (12) exponenciálně stabilní právě tehdy, když je asymptoticky stabilní, tj. právě tehdy, když má každé vlastní číslo matice \(\boldsymbol{A}\) zápornou reálnou část.

4.2.1 Stabilita nelineárního systému

Teorém 52 Nechť nulové řešení homogenního systému (12) je stejnoměrně stabilní a nechť funkce \(\boldsymbol{b}\) v (34) má vlastnost \[ \left\lVert \boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{x}) \right\rVert \leq \gamma(t) \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert \quad \forall [t, \boldsymbol{x}] \in \mathcal{I}\times D, \] kde \(\gamma : \mathcal{I}\to \mathbb{R}\) je nezáporná spojitá funkce splňující podmínku \[ \int_{t_0}^\infty \gamma(s) \mathrm{d}s \leq \infty. \] Potom je nulové řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{0}\) systému (34) stejnoměrně stabilní.

Teorém 53 Nechť fundamentální matice \(\boldsymbol{X}\) systému (12) splňuje pro jisté \(K > 0\) vlastnost \[ \int_{t_0}^t \left\lVert \boldsymbol{X}(t) \boldsymbol{X}^{-1}(s) \right\rVert \mathrm{d}s \leq K \quad \forall t \in \mathcal{I} \] a nechť pro funkci \(\boldsymbol{b}\) v (34) existuje kladná konstanta \(\gamma < K^{-1}\) taková, že \[ \left\lVert \boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{x}) \right\rVert \leq \gamma \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert \quad \forall [t, \boldsymbol{x}] \in \mathcal{I}\times D. \] Potom je nulové řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{0}\) systému (34) asymptoticky stabilní.

Teorém 54 Nechť fundamentální matice \(\boldsymbol{X}\) systému (12) splňuje podmínku z Teorém 51 a nechť pro funkci \(\boldsymbol{b}\) v (34) platí \[ \left\lVert \boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{x}) \right\rVert \leq \gamma \left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert \quad \forall [t, \boldsymbol{x}] \in \mathcal{I}\times D, \] kde \(\gamma\) je kladná konstanta s \(\gamma \leq \alpha L^{-1}\) pro kladná čísla \(L\) a \(\alpha\) z Teorém 51. Potom je nulové řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{0}\) systému (34) exponenciálně stabilní. Konkrétně, pro každý bod \(\tau \geq t_0\) každé řešení \(\boldsymbol{\psi}\) systému (34) s podmínkou \(\left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) \right\rVert \leq \alpha L^{-1}\) existuje na celém intervalu \([\tau, \infty)\) a má vlastnost \[ \left\lVert \boldsymbol{\psi}(t) \right\rVert \leq L \left\lVert \boldsymbol{\psi}(\tau) \right\rVert e^{(\gamma L - \alpha)(t - \tau)} \quad \forall t \geq \tau. \]

Teorém 55 (Ljapunova) Nechť \(\boldsymbol{A}\) je reálná konstantní matice \(n \times n\), která má alespoň jedno vlastní číslo s kladnou reálnou částí. Nechť funkce \(\boldsymbol{b}\) v (34) splňuje podmínku \[ \lim_{\boldsymbol{x}\to \boldsymbol{0}} \frac {\left\lVert \boldsymbol{b}(t, \boldsymbol{x}) \right\rVert} {\left\lVert \boldsymbol{x} \right\rVert} = 0 \] stejnoměrně vzhledem k \(t \in \mathcal{I}\). Potom je nulové řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{0}\) systému (34) nestabilní.

Důležité

Je důležité poznamenat, že pokud je systém (24) lineární, tj. funkce \[ \boldsymbol{f}(t,\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{A}(t) \boldsymbol{x}+ \boldsymbol{b}(t), \quad [t, \boldsymbol{x}] \in \mathcal{I}\times D, \tag{37}\] potom je transformovaný systém (33) pro každé vyšetřované řešení \(\boldsymbol{\varphi}\) systému (24) lineární homogenní systém (12). Vlastnosti stability jednotlivých řešení lineárního systému tedy nezávisí na výběru daného řešení, tj. všechna řešení systému (24) s funkcí \(\boldsymbol{f}\) z (37) mají stejné vlastnosti stability. Z tohoto důvodu se často hovoří o stabilitě lineárního systému než o stabilitě jeho řešení.

4.2.2 Autonomní systémy

Důležitou třídou diferenciálnich systémů jsou tzv. autonomní systémy, což jsou (nelineární) systémy (24), ve kterých funkce \(\boldsymbol{f}\) nezávísí explicitně na proměnné \(t\), tj. \[ \boldsymbol{x}' = \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}), \tag{38}\] kde \(\boldsymbol{g}: D \to \mathbb{R}^n\) je spojitá funkce. V tomto případě může mít systém (38) konstantní řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{x}_0\) na celém \(\mathbb{R}\), kde vektor \(\boldsymbol{x}_0\) je kořenem rovnice \(\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}\) a nazyvá se ekvilibrium (rovnováha, stacionární bod) systému (38). Standardně pracujeme s transformovaným systémem (34) (pomocí transformace \(\boldsymbol{y}:= \boldsymbol{x}- \boldsymbol{x}_0\)) ve tvaru \[ \boldsymbol{y}' = \nabla\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0) \boldsymbol{y}+ \boldsymbol{h}(\boldsymbol{y}), \quad \boldsymbol{h}(\boldsymbol{y}) := \boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}+ \boldsymbol{x}_0) - \nabla\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0) \boldsymbol{y}, \quad \left\lVert \boldsymbol{y}+ \boldsymbol{x}_0 \right\rVert \leq a. \tag{39}\] kde konstantní \(n\times n\) matice \(\nabla\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0)\) je hodnota Jacobiho matice funkce \(\boldsymbol{g}\) ve stacionárním bodě \(\boldsymbol{x}_0\).

Teorém 56 (Stabilita autonomního systému) Nechť je \(\boldsymbol{x}_0\) ekvilibrium systému (38) a funkce \(\boldsymbol{g}\) je spojitě diferecovatelná na \(D\). Konstantní řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{x}_0\) systému (38) má následující vlastnosti:

1. řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{x}_0\) je stejnoměrně stabilní právě tehdy, když je stabilní;
2. pokud je lineární systém \(\boldsymbol{y}' = \nabla\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0) \boldsymbol{y}\) exponenciálně stabilní, potom je řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{x}_0\) exponenciálně stabilní;
3. pokud má Jacobiho matice \(\nabla\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}_0)\) alespoň jedno vlastní číslo s kladnou reálnou částí, potom je řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{x}_0\) nestabilní.

4.3 Přímá Ljapunova metoda

Definice 17 Nechť \(V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) je funkce definovaná na jistém okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\). Říkáme, že \(V\) je (lokálně) pozitivně, resp. negativně, definitní na okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\), pokud \(V(\boldsymbol{0}) = 0\) a \(V(\boldsymbol{x}) > 0\), resp. \(V(\boldsymbol{x}) < 0\), pro každý nenulový vektor \(\boldsymbol{x}\in \mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\).

Definice 18 (Ljapunovská funkce systému) Nechť \(V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) je spojitá funkce. Říkáme, že \(V\) je ljapunovská funkce systému (34), pokud existuje okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\) takové, že

1. funkce \(V\) je pozitivně definitní na \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\);
2. funkce \(V\) je nerostoucí podél trajektorií systému (34) v \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\), tj. pokud \(\boldsymbol{\psi}\) je řešení systému (34) s hodnotou \(\boldsymbol{\psi}(\tau) \in \mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\) pro jisté \(\tau \in \mathcal{I}\), potom složená funnkce \((V \circ\boldsymbol{\psi})(t) = V(\boldsymbol{\psi}(t))\) je nerostoucí pro každé \(t \geq \tau\), v kterém řešení \(\boldsymbol{\psi}\) existuje s hodnotou \(\boldsymbol{\psi}(t) \in \mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\).

Teorém 57 (Ljapunova) Pokud pro systém (34) existuje ljapunovská funkce, potom je jeho identicky nulové řešení stabilní.

Definice 19 (Derivace vzhledem na autonomní systém) Nechť \(V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) je daná funkce, která má na jinstém okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\) spojité parciální derivace prvního řádu podle všech svých proměnných. Výraz \[ \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}\, V(x) := \left\langle \nabla V(x), \boldsymbol{g}(x) \right\rangle = \sum_{k = 1}^n V'_{x_k} (\boldsymbol{x}) g_k(\boldsymbol{x}), \quad \boldsymbol{x}\in \mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right) \] budeme nazývat derivace funkce \(V\) vzhledem na autonomní systém (38).

Teorém 58 (Ljapunova) Nechť má autonomní systém (38) jednoznačně určené řešení. Pokud pro tento systém existuje ljapunovská funkce, která má vzhledem na něj negativně definitní derivaci, potom je nulové řešení systému (38) asymptoticky stabilní.

Teorém 59 (Ljapunova) Nechť \(V : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) je funkce spojitě diferencovatelná na jistém okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\), která splňuje následující podmínky

1. \(V(\boldsymbol{0}) = 0\) a pro každé \(\delta > 0\) existuje bod \(\boldsymbol{x}_{\delta} \in \mathcal{O}_{\delta}(\boldsymbol{0})\), pro který \(V(\boldsymbol{x}_{\delta}) > 0\);
2. funkce \(V\) má na okolí \(\mathcal{O}\left( \boldsymbol{0} \right)\) pozitivně definitní derivaci vzhledem na autonomní systém (38).

Potom je nulové řešení \(\boldsymbol{\varphi}\equiv \boldsymbol{0}\) systému (38) nestabilní.

5 Kvalitativní teorie lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu

Lineární ODE 2. řádu můžeme zapsat jako \[ x'' + a_1(t)x' + a_2(t)x = a_3(t), \] kde \(a_1, a_2, a_3\) jsou spojité funkce na kompaktním intervalu \([a,b]\). Budeme je ale studovat ve Sturmově-Liouvillově (obecnějším) tvaru \[ (p(t)x')' + q(t)x = f(t), \tag{40}\] kde \(p,q,f\) jsou spojité na \([a,b]\) a \(p(t) > 0\) pro každé \(t \in [a,b]\).

Tip

Uvědomme si, že \(p\) není nutně diferencovatelná a tedy součin \(p(t)x'\) nemusí být možné rozdiferencovat. Naopak každou LDR 2. řádu lze převést na tvar (40) pomocí integračního faktoru \(e^{\int_a^t a_1(s) \mathrm{d}s}\), kde potom \(p(t) = e^{\int_a^t a_1(s) \mathrm{d}s}\) pro \(t \in [a,b]\).

Hlavně se ale zaměříme na homogenní variantu (40), tj. \[ (p(t)x')' + q(t)x = 0. \tag{41}\]

Zde si všimněme, že množina řešení (41) je lineární prostor nad \(\mathbb{R}\) dimenze \(2\), tj. fundamentální systém je tvořenými 2 lineárně nezávislými řešeními. Navíc pro každou dvojici řešení rovnice (41) je zevšeobecněný wronskián \[ \mathcal{W}\left[ x_1, x_2 \right](t) := p(t) \det \begin{pmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{pmatrix} = x_1(t) (p(t) x_2'(t)) - x_2(t)(p(t) x_1'(t)), \] což je konstantní na \([a,b]\). Pro každý bod \(t_0 \in [a,b]\) je počátečními podmínkami \(x(t_0) = x'(t_0) = 0\) určené jediné řešení rovnice (41) a to \(x(t) \equiv 0\) na \([a,b]\). Dále, pokud je \(x\) řešení (41) s \(x(t) \neq 0\) pro každé \(t \in [a,b]\), potom funkce \[ \tilde x(t) = x(t) \cdot \int_a^t \frac 1 {p(s) x^2(s)} \mathrm{d}s \] je lineárně nezávislé řešení rovnice (41) na \([a,b]\), protože platí \(\mathcal{W}\left[ x, \tilde x \right] = 1\). Celkem má všeobecné řešení rovnice (41) tvar \[ y(t) = C_1 x(t) + C_2 \tilde x(t) = C_1 x(t) + C_2 x(t) \int_a^t \frac 1 {p(s) x^2(s)} \mathrm{d}s, \quad t \in [a,b]. \] V neposlední řadě má každé netriviální řešení (tj. takové, které není identické nule) rovnice (41) izolované nulové body.

K rovnici (41) uvažujme příslušnou Riccatiho rovnici tvaru \[ w' + \frac 1 {p(t)} w^2 + q(t) = 0, \quad t \in [a,b]. \tag{42}\] Potom platí, že Riccatiho rovnice (42) má řešení, které existuje na celém intervalu \([a,b]\) právě tehdy, když má rovnice (41) řešení bez nulových bodů v \([a,b]\). Přesněji, pokud je \(w\) řešení (42), které existuje na celém \([a,b]\), pak funkce \(x\), která je netriviální řešení lineární ODE 1. přádu tvaru \[ x' = \frac {w(t)}{p(t)} x, \] tj. \(x(t) = e^{\int_a^t \frac {w(s)}{p(s)} \mathrm{d}s}\), je řešení rovnice (41) bez nulových bodů v \([a,b]\). Naopak, pokud je \(x\) řešení (41) bez nulových bodů, pak funkce \(w(t) := \frac {p(t) x'(t)} {x(t)}\) je řešením (42), které existuje na celém \([a,b]\).

5.1 Prüferova transformace

Nechť \(x\) je řešení rovnice (41), pak neboť funkce \(x(t)\) a \(x'(t)\) nemohou být současně nulové v každém bodě \([a,b]\), můžeme uvažovat \(\rho(t)\) a \(\varphi(t)\) definované vztahy \[ x(t) = \rho(t) \sin \varphi(t), \quad p(t) x'(t) = \rho(t) \cos \varphi(t), \quad t \in [a,b]. \tag{43}\]

Funkce \(\rho(t)\) se nazývá Prüferův poloměr a funkce \(\varphi(t)\) Prüferův úhel. Uvedená transformace “souřadnic \([x(t), p(t)x'(t)]\)” do “polárních souřadnic \([\rho(t), \varphi(t)]\)” se označuje jako Prüferova.

Lze ukázat, že funkce \(\rho\) a \(\varphi\) jsou řešením systému diferenciálních rovnic \[ \begin{aligned} \rho'(t) &= \left( \frac 1 {p(t)} - q(t) \right) \rho(t) \cos \varphi(t) \sin \varphi(t), \\ \varphi'(t) &= \frac 1 {p(t)} \cos^2 \varphi(t) + q(t) \sin \varphi(t). \end{aligned} \tag{44}\] Dále platí, že Prüferova transformace existuje a funkce \(\rho, \varphi\) mají spojité derivace na \([a,b]\), pokud řešení \(x\) nemá nulový bod v \([a,b]\).

Lemma 8 Nechť \(x\) je netriviální řešení rovnice (41), která má v \([a,b]\) právě \(n\) nulových bodů a \(a \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n \leq b\) a funkce \(x(t) > 0\) pro \(t \in (a, t_1)\). Dále nechť \(\varphi(t)\) je funkce definovaná podmínkami

• \(\varphi(t_k) = k \pi\) pro všechna \(k \in \left\{1, \dots, n\right\}\);
• \(\varphi(a) = 0\), pokud \(x(a) = 0\);
• \(\varphi(t) = \mathrm{arccot}{\frac {p(t) x'(t)} {x(t)}}\) pro \(t \in [a,t_1)\);
• \(\varphi(t) = \mathrm{arccot}{\frac {p(t) x'(t)} {x(t)}} + k\pi\) pro \(t \in (t_k,t_{k+1})\);
• \(\varphi(t) = \mathrm{arccot}{\frac {p(t) x'(t)} {x(t)}} + n\pi\) pro \(t \in (t_n,b]\).

Pak platí, že \(\varphi\in C^{1}([a,b])\) a splňuje (43) a (44) pro funkci \(\rho(t) = \sqrt{(x(t))^2 + (p(t)x'(t))^2}\) pro \(t \in [a,b]\). Navíc platí, že \(\varphi(t) > k \pi\) pro všechna \(t \in (t_k, b]\) a \(k \in \left\{1, \dots, n\right\}\).

5.2 Základy Sturmovy teorie

Kromě rovnice (41) uvažujeme ještě další rovnici \[ (\tilde p(t) x')' + \tilde q(t) = 0, \quad t \in [a,b], \tag{45}\] kde \(\tilde p, \tilde q \in C^{}([a,b])\) a \(\tilde p(t) > 0\) na \([a,b]\).

Definice 20 (Sturmova majorantní podmínka) Uvažujme úlohy (41) a (45). Podmínku \[ \tilde q(t) \geq q(t) \quad \land \quad p(t) \geq \tilde p(t), \quad t \in [a,b] \tag{46}\] se označuje jako Sturmova majorantní podmínka pro (41). Rovnice (45) se nazývá Sturmova majoranta rovnice (41) a zároveň je rovnice (41) Sturmova minoranta rovnice (45).

Definice 21 (Striktní Sturmova majorantní podmínka) Uvažujme úlohy (41) a (45). Nechť je splněna podmínka (46) z Definice 20 a navíc existuje \(t_0 \in [a,b]\) takové, že \[ \begin{gathered} \tilde q(t_0) > q(t_0) \\ \text{nebo} \\ p(t_0) > \tilde p(t_0) \land \tilde q(t_0) = q(t_0) \neq 0, \end{gathered} \tag{47}\] pak se tato podmínka označuje jako striktní Sturmova majorantní podmínka.

Teorém 60 (Sturmova porovnávací věta) Nechť rovnice (45) je Sturmova majoranta pro (41) a nechť \(x, \tilde x\) je netriviální řešení (41), resp. (45), pričemž nechť \(x\) má právě \(n\) nulových bodů v \((a,b]\), tj. \(a \leq t_1 < t_2 < \dots < t_n \leq b\). Pokud řešení \(\tilde x\) splňuje nerovnost \[ \frac {p(a)x'(a)} {x(a)} \geq \frac {\tilde p(a) \tilde x'(a)} {\tilde x(a)}, \tag{48}\] potom má \(\tilde x\) na \((a, t_n]\) alespoň \(n\) nulových bodů. Dále, pokud platí nejen (48), ale i

• \(\frac {p(a)x'(a)} {x(a)} > \frac {\tilde p(a) \tilde x'(a)} {\tilde x(a)}\)
• nebo \(\frac {p(a)x'(a)} {x(a)} = \frac {\tilde p(a) \tilde x'(a)} {\tilde x(a)}\) a navíc je splněna podmínka (47) na \((a,t_n)\),

potom má \(\tilde x\) alespoň \(n\) nulových bodů v \((a, t_n)\). Doplňme, že pokud \(x(a) = 0\), resp. \(\tilde x(a) = 0\), pak v (48) klademe \(\frac {p(a)x'(a)} {x(a)} = \infty\), resp. \(\frac {\tilde p(a) \tilde x'(a)} {\tilde x(a)} = \infty\).

Důležité

Všimněme si, že čistě požadavek splnění (48) nám pouze zaručí alespoň \(n\) nulových bodů na \((a, t_n]\), zatímco přidáním druhé podmínky z Teorém 60 dostaneme dokonce alespoň \(n\) nulových bodů na \((a, t_n)\).

Teorém 61 (Sturmova oddělovací věta) Nechť \(x, \hat x\) jsou řešení rovnice (41) a \(s,t \in [a,b]\) takové, že \(s < t\), jsou sousední nulové body funkce \(x\). Potom platí

1. \(\hat x\) je lineárně závislé s \(x\), pak \(\hat x(s) = 0 = \hat x(t)\) a \(\hat x\) nemá nulové body v \((s,t)\)
2. nebo \(\hat x\) je lineárně nezávislé s \(x\), pak \(\hat x\) má v \([s,t]\) právě jeden nulový bod z \((s,t)\).

Tip

Jinak řečeno, Teorém 61 znamená, že se nulové body lineárně nezávislých řešení rovnice (41) vzájemně oddělují.

5.3 Základy oscilační teorie

Definice 22 (Oscilatorické řešení) Uvažujme nyní rovnici (41) na neohraničeném intervalu \([a, \infty)\). Říkáme, že netriviální řešení je oscilatorické (osciluje) na \(\mathcal{O}\left( \infty \right)\), pokud má funkce \(x\) nekonečně mnoho nulových bodů na \(\mathcal{O}\left( \infty \right)\). V opačném případě je \(x\) neoscilatorická na \(\mathcal{O}\left( \infty \right)\).

Teorém 62 (Oscilatorická rovnice (41)) Pro rovnici (41) definovanou na \([a, \infty)\) jsou následující podmínky ekvivalentní

1. existuje oscilatorické řešení rovnice (41);
2. každé řešení rovnice (41) osciluje.

Poznámka

V případě splnění podmínek z Teorém 62 se (41) označuje jako oscilatorická na \([a, \infty)\); v opačném případě se o neoscilatorickou rovnici.

Teorém 63 (Oscilační vlastnosti rovnic (41), (45)) Nechť jsou rovnice (41), (45) definované na \([a, \infty)\) a nechť splňují Sturmovu majorantní podmínku (46) na \([a, \infty)\). Potom platí

1. pokud je rovnice (41) oscilatorická, pak je oscilatorická i (45);
2. pokud je rovnice (45) neoscilatorická, pak neosciluje ani (41).